Continuité

Continuité sur un intervalle

Définition

\( f \) est une fonction définie sur un intervalle \( I \), \( a \) est un nombre qui appartient à \( I \).

1. La fonction \( f \) est continue en \( a \) si et seulement si \( \lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right) =f\left( a\right) \)

2. La fonction \( f \) est continue sur l'intervalle \( I \) si et seulement si \( f \) est continue en tout nombre de \( I \).

Dérivabilité et continuité

Théorème

Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) et \( a \) un nombre qui appartient à \( I \). Si \( f \) est dérivable en \( a \), alors \( f \) est continue en \( a \).

Démonstration

Dire que \( f \) est dérivable en \( a \) signifie que la fonction \( g \) définie sur \( I\smallsetminus \left\{ a\right\} \) par

$$ g\left( x\right) =\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a} $$

\( a \) pour limite le nombre réel \( f'(a) \) lorsque \( x \) tend vers \( a \).

$$ \forall x \neq a :$$ $$ g\left( x\right) =\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a} $$ $$ \Leftrightarrow g\left( x\right) \cdot \left( x-a\right) =f\left( x\right) -f\left( a\right) $$ $$\Leftrightarrow f\left( x\right) =g\left( x\right) \cdot \left( x-a\right) +f\left( a\right) $$

On obtient donc

$$ \lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a} \left( \underbrace{\underbrace{g\left( x\right) }_{\rightarrow f^{\prime }\left( a\right) } \cdot \underbrace{\left( x-a\right) }_{\rightarrow 0} }_{\rightarrow 0} +f\left( a\right) \right) $$

\( f \) est donc continue en \( a \)

$\square$

Attention

La réciproque du Théorème est fausse. Une fonction peut être continue en \( a \) sans être dérivable en \( a \).

Démonstration

Démonstration par un contre exemple.
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 et sa représentation graphique admet une tangente verticale au point \( (0 ; 0) \). Mais la fonction racine carrée est continue en 0, car:

$$ \lim_{x\rightarrow 0} \sqrt{x} =0$$

$\square$

Fonctions continues et résolution d'équations

Théorème des valeurs intermédiaires

Si \( f \) est une fonction continue sur un intervalle \( [a ; b] \) et si \( k \) est un nombre réel compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), alors il existe au moins un nombre réel \( c \) de \( [a ; b] \) tel que

$$ f(c)=k $$

Théorème

Si \( f\) est une fonction continue et strictement croissante sur l'intervalle \( I = [a;b] \)

1. L'image de l'intervalle \( I\) par \( f\) est l'intervalle \( J=[f(a);f(b)]\)

2. Pour tout nombre réel \( k \) de \([f(a);f(b)]\), l'équation

$$ f(x)=k $$

a une solution et une seule dans l'intervalle \([a;b] \)

Théorème

Si \( f\) est une fonction continue et strictement monotone sur \( I=[a;b] \) et \( f\left( a\right) \cdot f\left( b\right) < 0 \), alors l'équation \( f\left( x\right) =0 \) a une solution et une seule dans \( I\).

Théorème

Si \( f\) est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \( I\), alors :

1. L'image \( f(I) \) d'un intervalle \( I\) par \( f\) est un intervalle \( J\).

2. Pour tout nombre réel \( k\) de \( J\), l'équation \( f(x)=k\) a une solution et une seule dans \( I\).

Résumé

Le tableau suivant résume les différents cas possibles.