Limites

Limites

Cas 1 limite en \( + \infty \)

Si les nombres d'une fonction \( f(x) \) deviennent plus en plus grand si on prend \(x\) qui se rapproche d'une infinité

$$f\left( x\right) \rightarrow +\infty $$

On dit que la limite de \( f(x) \) est plus l'infini on note

$$\lim_{x\rightarrow +\infty } f\left( x\right) =+\infty $$

ou

$$\lim_{x\rightarrow -\infty } f\left( x\right) =+\infty $$

ou en générale

$$\lim_{x\rightarrow \infty } f\left( x\right) =+\infty $$

Cas 2 limite en \( - \infty \)

Si les nombres de \( f(x) \) deviennent plus en plus petit si on prend \(x\) qui se rapproche d'une infinité

$$f\left( x\right) \rightarrow -\infty $$

On dit que la limite de \(f(x)\) est moins l'infini on note

$$\lim_{x\rightarrow +\infty } f\left( x\right) =-\infty $$

ou

$$\lim_{x\rightarrow -\infty } f\left( x\right) =-\infty $$

ou en générale

$$\lim_{x\rightarrow \infty } f\left( x\right) =-\infty $$

Cas 3 limite en un point

Si les nombres de \( f(x) \) se rapprochent en un point si on prend \(x\) qui rapproche une infinité

$$f\left( x\right) \rightarrow a $$

On dit que la limite de \( f(x) \) est a on note

$$\lim_{x\rightarrow +\infty } f\left( x\right) =a $$

ou

$$\lim_{x\rightarrow -\infty } f\left( x\right) =a $$

ou en générale

$$\lim_{x\rightarrow \infty } f\left( x\right) =a $$

Limite à droite et a gauche

Une fonction \(f\) possède une limite en a si et seulement si \(f\) possède une limite \( a \) gauche et a droite de \(a\) et que les limites sont égales.

$$\lim_{x\rightarrow a^{+}} f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a^{-}} f(x)=\lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right)$$

Les asymptotes

Asymptote horizontale

On note asymptote horizontale : A.H.

Définition

On dit que la courbe \(\mathscr{C}_{f} \) admet une asymptote horizontale (A.H.) d'équation \( y\ =\ l \) en \( +\infty \), si

$$ \lim_{x\rightarrow +\infty } f\left( x\right) =l $$

A.H. est sous forme:

$$A.H.\ \equiv\ y$$

nouveau signe: [ \( \equiv \) ]

On lit :l'asymptote horizontale a pour équation y

Asymptote verticale

On note asymptote verticale : A.V.

Définition

On dit que la courbe \(\mathscr{C}_{f} \) admet une asymptote verticale (A.V.) d'équation \( x\ =\ a \), si

$$ \lim_{x\rightarrow a } f\left( x\right) = \infty $$

A.V. est sous forme:

$$A.V.\ \equiv\ x$$

Asymptote Oblique

On note asymptote oblique : A.O.

Définition

On dit que la courbe \(\mathscr{C}_{f} \) admet une asymptote oblique (A.O.) d'équation \( y\ =\ ax\ +\ b \), en \( +\infty \) (respectivement en \( -\infty \)),si

$$\lim_{x\rightarrow +\infty } \left[ f\left( x\right) -\left( ax+b\right) \right] =0$$

respectivement

$$ \lim_{x\rightarrow -\infty } \left[ f\left( x\right) -\left( ax+b\right) \right] =0$$

A.O. est sous forme:

$$A.O.\equiv ax + b$$

À retenir

On a jamais une A.H. et une A.O. pour une seul fonction.

Formules de Cauchy

La droite d'équation \( y\ =\ ax\ +\ b\) est une A.O. à \(\mathscr{C}_{f} \) si et seulement si:

  1. \( \lim_{x\rightarrow \infty } f\left( x\right) =\infty \)

  2. \( \lim_{x\rightarrow \infty } \frac{f\left( x\right) }{x} =a\ \text{avec}\ a\ \in \mathbb{R}^* \)

  3. \( \lim_{x\rightarrow \infty } \left[ f\left( x\right) -ax\right] =b\ \text{avec}\ b\ \in \mathbb{R} \)

Terme du plus haut dégrée

À l'infini, une fonction polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.

$$ \lim_{x\rightarrow \pm \infty } \left( a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\right) =\lim_{x\rightarrow \pm \infty } a_{n}x^{n}\ ,\text{avec}\ a_{n}\neq 0 $$

Théorème du plus haut dégrée d'une fonction rationelle

Definition

Soit

$$f(x)=\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}} $$

une fraction rationelle avec

$$\left( a_{n}\neq 0;\ b_{m}\neq 0\right)$$

Alors la limite quand f(x) tend vers \( - \infty \) ou \( + \infty \) est égale a la limite du rapport du termes du plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}} =\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}$$

Demonstration

$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty } f\left( x\right)$$ $$=\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}}$$ $$=\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}(\overbrace{1+\frac{a_{n-1}}{a_{n}x} +...+\frac{a_{1}}{a_{n}x^{n-1}} +\frac{a_{0}}{a_{n}x^{n}} )}^{\rightarrow 1} }{b_{m}x^{n}\underbrace{\left( 1+\frac{b_{m-1}}{b_{m}x} +...+\frac{b_{1}}{b_{m}x^{m-1}} +\frac{b_{0}}{b_{m}x^{m}} \right) }_{\rightarrow 1} } $$ $$=\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{n}} $$

cqfd.

Limites des fonctions trigonométriques

Théorème d'encadrement

Soit \( f \), \( g \) et \( h \) trois fonctions définies sur l'intervalle ouvert \( I \) telles que:

$$h\left( x\right) \leq f(x)\leq g(x)$$

Si

$$\lim_{x\rightarrow a} h(x)=\lim_{x\rightarrow a} g\left( x\right) =l$$

avec

$$x\neq a\ \left( \text{a réel ou infini} \right) $$

donc

$$\lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right) =l$$

Remarque

Le théorème d'encadrement est aussi apellée théorème de sandwich ou des gendarmes.

Théorème de comparaison par minoration ou majoration

Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions définies sur un intervalle ouvert \( I \) et soit a une borne de \( I \) ou un réel appartenant à \( I \).

  1. Si pour tout \( x \) de \( I \), \( f\left( x\right) \geqslant g\left( x\right) \) et si:


    $$ \lim_{x\rightarrow a} g\left( x\right) =+\infty \ \Longrightarrow \ \lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right) =+\infty $$

  2. Si pour tout \( x \) de \( I \), \( f\left( x\right) \leqslant g\left( x\right) \) et si:


    $$ \lim_{x\rightarrow a} g\left( x\right) =-\infty \ \Longrightarrow \ \lim_{x\rightarrow a} f\left( x\right) =-\infty $$

Théorème sur les limites

Limite d'une somme

Si $f$ a pour limite $l$ $l$ $l$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
et si g a pour limite $l^{\prime}$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
alors $f + g$ a pour limite $l\ +\ l^{\prime} $ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ f.i.

Limite d'un produit

Si $f$ a pour limite $l$ $l>0$ $l>0$ $l <\ 0$ $l <\ 0$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $0$
si g a pour limite $l^{\prime}$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $-\infty\ ou\ +\infty$
alors $f \cdot g$ a pour limite $l \cdot l^{\prime}$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $ f.i. $

Limite d'un quotient

Si $f$ a pour limite $l$ $l$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty\ ou\ +\infty$ $-\infty\ ou\ +\infty$
et si g a pour limite $l^{\prime }\neq 0$ $-\infty \ \text{ou}\ +\infty $ $l^{\prime}>0$ $l^{\prime} < 0$ $l^{\prime}>0$ $l^{\prime} < 0$ $ -\infty\ ou\ +\infty $
alors $\frac{f}{g}$ a pour limite $\frac{l}{l^{\prime}}$ $0$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ f.i.

Limite d'un quotient

Si f a pour limite $l> 0\ ou\ +\infty$ $l> 0\ ou\ +\infty$ $l < 0\ ou\ -\infty$ $l < 0\ ou\ -\infty$ $0$
et si g a pour limite $0^+$ $0^-$ $0^+$ $0^-$ $0$
alors $\frac{f}{g}$ a pour limite $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ f.i.

Remarque

f.i. signifie forme indéterminée

Formes indéterminées

$$ \frac{0}{0} $$ $$ \frac{\infty }{\infty } $$ $$ \infty -\infty $$ $$ 0\cdot \infty $$ $$ 0^{0} $$ $$ \infty^{0} $$ $$ 1^{\infty } $$