Conditions Mathématiques utiles

Droites parallèles

$$ \text{Les droites}\ \left( AB\right) \ \text{et}\ \left( CD\right) \ \text{sont parallels}$$ $$ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \ \text{et}\ \overrightarrow{CD} \ \text{sont colineaires} $$ $$\Leftrightarrow \exists\ k\in \mathbb{R}|\ \overrightarrow{AB} =k\cdot \overrightarrow{CD} $$

Points alignés

$$ \text{Les droites}\ A,\ B\ et\ C\ \text{sont alignés}$$ $$ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \ \text{et}\ \overrightarrow{CD} \ \text{sont colineaires}$$ $$\Leftrightarrow \exists\ k\in \mathbb{R}|\ \overrightarrow{AB} =k\cdot \overrightarrow{CD} $$

Parallèlogramme

$$ ABCD\ \text{est un parallelogramme} $$ $$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \ =\ \overrightarrow{DC} $$

Losange

$$ABCD\ \text{est un losange}$$ $$\Leftrightarrow ABCD\ \text{est un parallelogramme}$$ $$ \Leftrightarrow ABCD\ \text{est un parallelogramme et deux vecteurs consécutifs ont la même norme}$$

Triangle isocèle

$$ ABC\ \text{est un triangle isocèle en}\ A $$ $$ \Leftrightarrow \| \overrightarrow{AB} \parallel \ =\ \parallel \overrightarrow{AC} \parallel$$

Triangle équilatérale

$$ABC\ \text{est un triangle équilatérale}$$ $$\Leftrightarrow \| \overrightarrow{AB} \parallel \ =\ \parallel \overrightarrow{AC} \parallel \ =\ \| \overrightarrow{BC} \| $$

Triangle rectangle

$$ABC\ \text{est un triangle rectangle en}\ A$$ $$\Leftrightarrow \| \overrightarrow{BC} \|^{2} =\| \overrightarrow{AB} \|^{2} \ +\ \| \overrightarrow{AC} \|^{2} $$

Remarque

Ceci est la réciproque du théorème du Phythagore

Carré

$$ABCD\ \text{est un carré}$$ $$\Leftrightarrow ABCD\ \text{est un losange et il y a un angledroit}$$

Médiatrice

Soit \( A \) et \( B \) deux points et \( m_{AB} \) la médiatrice de \( [AB] \)

$$M\left( z\right) \in m_{AB}$$ $$\Leftrightarrow AM\ =\ MB$$ $$\Leftrightarrow \| \overrightarrow{AM} \| \ =\ \| \overrightarrow{MB} \| $$ $$\Leftrightarrow \left| z-z_{A}\right| =\left| z-z_{B}\right| $$

Cercle

Soit \( C \) le cercle de rayon \( r \) et de centre \( A \)

$$M\left( z\right) \in C$$ $$\Leftrightarrow AM=r$$ $$\Leftrightarrow \| \overrightarrow{AM} \| \ =\ r$$ $$\Leftrightarrow \left| z-z_{A}\right| =\ r$$