Probabilités

Dénombrement

Définition

Dénombrer, c'est calculer le nombre de possibilités de grouper un certain nombre d'éléments d'un ensemble.

Probabilité d'un événement

Définition

Soit une expérience aléatoire d'univers $\Omega$ fini, avec $\Omega = \{ e_1; e_2; ... ;e_n \}$

  1. Définir une loi de probabilité sur $\Omega$, c'est associer à chaque issue $e_i$ un nombre positif $p(e_i)$ tel que:

    $$ p(e_1) + p(e_2) +...+ p(e_n) = 1 $$

  2. Le nombre $p(e_i)$ est appelé : probabilité de l'événement élémentaire

  3. La probabilité d'un événement $A$, notée $p(A)$, est la somme des probabilités de toutes les issues qui réalisent $A$.

Propriétés

  1. La probabilité de l'événement certain $\Omega$ vaut:

    $$ p(\Omega) = 1 $$

  2. La probabilité de l'événement impossible $\emptyset$ vaut:

    $$ p(\emptyset) = 0 $$

  3. Pour tout événement $A$, on a:

    $$ 0 \leqslant p(A) \leqslant 1$$

  4. Pour tout événement $A$, $p(A) + p(\bar{A}) = 1$

Définition

Si une expérience aléatoire d'univers $\Omega$, avec $\Omega = \{ e_1; e_2; ... ;e_n \}$. Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu'ils sont équiprobable, et on a:

$$ p(e_1) = p(e_2) = ... = p(e_n) = \frac{1}{n} = \frac{1}{\operatorname{card} \Omega } $$ $$

Arrangement avec répétition

Arrangement avec répétition $B$ de $p$ éléments distincts ou non choisi parmi $n$ éléments distincts:

Formule

$$ B^{p}_{n}=n^{p} $$

Permutation

Permutation $P$ de $n$ éléments distincts:

Arrangement sans répétition

Arrangement sans répétition $A$ de $p$ éléments distincts choisis parmi $n$ éléments distincts:

Formule

$$A^{p}_{n}=\frac{n!}{(n-p)!} $$ $$\left( p \leqslant n \right)$$

Combinaison

Combinaison $C$ de $p$ éléments distincts choisis parmi $n$ éléments distincts:

Formule

$$C^{p}_{n}=\frac{n!}{p!\left( n-p\right) !} =\frac{A^{p}_{n}}{P_{n}} $$ $$\left( p \leqslant n \right)$$

Vocabulaire des événements

Définition

  1. Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs résultats possible et qu'on ne peut pas prévoir lequel sera obtenu. Le résultat d'une tell expérience est uniquement dû au hasard.

  2. Une issue d'une expérience aléatoire est un résultat possible pour cette expérience.

  3. L'ensemble de toutes les issues d'une expérience aléatoire est appelé univers associé à cette expérience.
    On note souvent: $\Omega$

  4. Un événement $A$ est sous-ensemble de l'ensemble $\Omega$.
    On dit qu'une issue réalise un événement $A$ lorsque cette issue est un résultat appartenant à la partie $A$.

Schéma

schema univers probabilité

Événements particuliers

  1. L'événement impossible est l'ensemble vide noté $\emptyset$ : aucune issue ne le réalise.

  2. L'événement certain est l'univers $\Omega$: toutes les issues le réalisent.

  3. Un événement élémentaire est un événement formé d'une seule issue.

Intersection

Définition

L'intersection de $A$ et $B$, notée $A \cap B$ ou $A$ et $B$, est l'événement constitué des issues qui réalisent $A$ et $B$ en même temps.

a intersection b

Formule

$$ p(A \cap B) = p(A) + p(B) - p(A \cup B) $$

Disjonction

Définition

Dans le cas où $A$ et $B$ ne peuvent pas être réalisés en même temps, c'est à dire si $A \cap B \notin \emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont incompatible ou disjoint.

incompatible

Union

Définition

La réunion de $A$ et de $B$, notée $A \cup B$ ou $A$ ou $B$, est l'événement constitué des issues qui réalisent $A$ ou $B$, c'est à dire au moins l'un des deux.

a union b

Formule

$$ p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) $$

Différence

Définition

La différence de $A$ et de $B$, notée $A \setminus B$ ou $A$ sauf $B$, est l'événement constitué des issues qui réalisent $A$ mais pas $B$.

a union b

Propriété

Soit une expérience aléatoire où les événements élémentaires sont équiprobables et soit $A$ un événement, alors on a:

$$ p(A) = \frac{\text{nombre d'issues de }A}{\text{nombre totales d'issues}} $$ $$ =\frac{\text{nombre d'issues favorable de} A}{\text{nombre d'issues possibles}} $$

Probabilité conditionnelle

Définition

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$, notée $p(A|B)$, est la probabilité que l'événement $A$ se réalise sachant que l'événement $B$ s'est réalisé.

Formule

$$ p(A|B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} $$

Remarque

Parfois on utilise la notation $p_B(A)$ pour désigner la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$.

Arbres pondérés

Propriétés

Variable aléatoire

Définition

Pour définir une variable aléatoire $X$ sur un univers $\Omega$ d'une expérience aléatoire, on associe un nombre réel $x_i$, a chaque éventualité $e_i$ de $\Omega$.

Probabilité d'une variable aléatoire

Définition

La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est la fonction qui à chaque valeur $x_i$ prise par $X$ associe la probabilité: $p \left( X = x_i \right)$

Espace mathématiques

Definition

L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$, notée $E \left( X \right)$ est la somme des produits de chaque valeur prise par $X$ par la probabilité que $X$ prenne cette valeur :

$$ E \left( X \right) = \sum^{k}_{i=1} x_{i}\cdot P\left( X=x_{i}\right) $$ $$ = x_1 \cdot p \left( X = x_1 \right) + x_2 \cdot p \left( X = x_2 \right) + ... + x_k \cdot p \left( X = x_k \right) $$

Propriété

Si $X$ est une variable aléatoire égale au gain algébrique d'un jeu hasard, alors $ E \left( X \right)$ représente le gain moyen auquel on peut s'attendre.

Variance

Définition

On appelle variance d'une variable aléatoire $X$ le nombre $V(X)$ défini par:

$$ V \left( X \right) = \sum^{k}_{i=1} \left( x_{i}-E\left( X\right) \right)^{2} \cdot p\left( X=x_{i}\right) $$ $$ = \left( x_{1}-E\left( X\right) \right)^{2} \cdot p\left( X=x_{1}\right) + \left( x_{2}-E\left( X\right) \right)^{2} \cdot p\left( X=x_{2}\right) +... +\left( x_{k}-E\left( X\right) \right)^{2} \cdot p\left( X=x_{k}\right) $$

Propriété

$$ V \left( X \right) = \sum^{k}_{i=1} x^2_i \cdot p\left( X=x_{i}\right) - \left( E \left( X \right) \right)^2 $$ $$ = x^{2}_{1}\cdot p\left( X=x_{1}\right) + x^{2}_{2}\cdot p\left( X=x_{2}\right) + ... + x^{2}_{k}\cdot p\left( X=x_{k}\right) - \left( E \left( X \right) \right)^2 $$ $$ = E \left( X^2 \right) - \left( E \left( X \right) \right)^2$$

Écart type

Definition

On appelle écart type d'une variable aléatoire $X$ le nombre $\sigma(X)$ défini par:

$$ \sigma(X) = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} $$

Propriété

Plus l'écart type et la variance sont grands, plus la variable aléatoire est dispersée.

Loi uniforme discrète

Définition

On dit que la variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme discrète sur l'ensemble $\{ x_1, x_2, ... , x_k \}$ si $p(X=x_i) = \frac{1}{k}$ pour tout $i \in \{ 1, 2, ... , k \}$.

Propriétés

Si $X$ suit une loi uniforme discrète sur l'ensemble $\{ x_1, x_2, ... , x_n \}$, alors:

$$ E(X) = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{n + 1}{2} $$

ou bien

$$ \operatorname{Var}(X) = \frac{(x_1 - E(X))^2 + (x_2 - E(X))^2 + ... + (x_n - E(X))^2}{n} $$ $$ = \frac{n^2 - 1}{12} $$

Remarque

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme discrète est la moyenne arithmétique des valeurs prises par la variable aléatoire.

Événements indépendants

Définition

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'a aucune influence sur la probabilité de réalisation de l'autre.

Propriété

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si:

$$ p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) $$

Démonstration

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors la probabilité de réalisation de $A$ sachant que $B$ s'est réalisé est égale à la probabilité de réalisation de $A$:

$$ p(A|B) = p(A) \ (1)$$

D'après la formule de la probabilité conditionnelle, on a:

$$ p(A|B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} \ (2)$$

En combinant $(1)$ et $(2)$, on obtient:

$$ p(A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} $$

En multipliant les deux côtés par $p(B)$, on obtient:

$$ p(A) \cdot p(B) = p(A \cap B) $$

Réciproquement, si $p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B)$, alors on peut diviser les deux côtés par $p(B)$ pour obtenir:

$$ p(A|B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} = \frac{p(A) \cdot p(B)}{p(B)} = p(A) $$

Ainsi, la réalisation de $B$ n'a aucune influence sur la probabilité de réalisation de $A$, ce qui signifie que $A$ et $B$ sont indépendants.

$\square$

Remarque

Si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors la probabilité de réalisation de $A$ sachant que $B$ s'est réalisé est égale à la probabilité de réalisation de $A$:

$$ p(A|B) = p(A) $$

Épreuve de Bernoulli

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles: succès ou échec. On note $p$ la probabilité de succès et $q$ la probabilité d'échec, avec $p + q = 1$.

Propriété

Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une épreuve de Bernoulli, alors:

$$ E(X) = p $$ $$ \operatorname{Var}(X) = p \cdot q $$

Remarque

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une épreuve de Bernoulli est la probabilité de succès.

Schéma de Bernoulli

Définition

Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire qui consiste à répéter un certain nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes, avec la même probabilité de succès $p$ et la même probabilité d'échec $q$.

Propriété

Si $X$ est une variable aléatoire qui suit un schéma de Bernoulli avec $n$ épreuves, alors:

$$ E(X) = n \cdot p $$ $$ \operatorname{Var}(X) = n \cdot p \cdot q $$

Remarque

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant un schéma de Bernoulli est le nombre moyen de succès attendus après $n$ épreuves.

Coefficient binomial

Définition

Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est le nombre de façons de choisir $k$ éléments distincts parmi $n$ éléments distincts, sans tenir compte de l'ordre.

Formule

$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Propriété

Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est également le nombre de combinaisons de $k$ éléments distincts parmi $n$ éléments distincts.

Théorème

Soient $nà$ et $k$ des entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$. Alors, le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ satisfait la relation suivante:

$$ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} $$

Démonstration

Considérons un ensemble de $n$ éléments distincts. Pour former une combinaison de $k$ éléments, nous pouvons choisir un élément particulier, appelons-le $e$, et considérer deux cas:

  1. Si nous incluons l'élément $e$ dans notre combinaison, nous devons choisir les $k-1$ éléments restants parmi les $n-1$ éléments restants. Le nombre de façons de le faire est $\binom{n-1}{k-1}$.

  2. Si nous n'incluons pas l'élément $e$, nous devons choisir les $k$ éléments parmi les $n-1$ éléments restants. Le nombre de façons de le faire est $\binom{n-1}{k}$.

En combinant ces deux cas, nous obtenons la relation:

$$ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} $$

$\square$

Loi binomiale

Définition

La loi binomiale est une distribution de probabilité discrète qui décrit le nombre de succès dans une séquence de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès $p$ et une probabilité d'échec $q = 1 - p$. La variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale est notée $X \sim B(n, p)$.

Formule

$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} $$

Propriétés