Statistiques

Moyenne

Définition

La moyenne $\bar{x}$ d'une série de nombres est la somme de ces nombres divisée par le nombre total de nombres.

Formule

$$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$

Remarque

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

Moyenne pondérée

Définition

La moyenne pondérée $\bar{x}_w$ d'une série de nombres est la somme des produits de chaque nombre par son poids, divisée par la somme des poids.

Formule

$$ \bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} $$

Médiane

Définition

La médiane d'une série de nombres est le nombre qui sépare la moitié supérieure de la moitié inférieure de la série.

Quartiles

Définition

Les quartiles sont des valeurs qui divisent une série de nombres en quatre parties égales. Le premier quartile $(Q_1)$ est la valeur qui sépare les 25$\%$ inférieurs des 75$\%$ supérieurs, le deuxième quartile $(Q_2)$ est la médiane, et le troisième quartile $(Q_3)$ est la valeur qui sépare les 75$\%$ inférieurs des 25$\%$ supérieurs.

Boîte à moustaches

Définition

Une boîte à moustaches est un graphique qui représente la distribution d'une série de nombres à l'aide de cinq valeurs résumées : le minimum, le premier quartile $(Q_1)$, la médiane $(Q_2)$, le troisième quartile $(Q_3)$ et le maximum. Les moustaches s'étendent du minimum au maximum, et la boîte représente l'intervalle interquartile $(Q_1, Q_3)$.

Mode

Définition

Le mode noté $ \operatorname{Mode}(x) $ d'une série de nombres est la valeur qui apparaît le plus souvent.

Remarque

Une série de nombres peut avoir un mode, plusieurs modes ou aucun mode.

Variance

Définition

La variance $ \sigma^2 $ d'une série de nombres est la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne.

Formule

$$ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $$

Propriétés

• La variance est toujours positive.

• La variance est sensible aux valeurs extrêmes.

Notation

La variance est souvent notée $ \operatorname{Var}(x) $.

Écart-type

Définition

L'écart-type $\sigma$ d'une série de nombres est la racine carrée de la variance.

Formule

$$ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 } $$

Remarque

L'écart-type est toujours exprimée dans les mêmes unités que les données d'origine.

Écart interquartile, amplitude interquartile

L'ecart interquartile est une mesure de la dispersion des données qui indique l'étendue des 50$\%$ centraux des données.

Définition

L'écart interquartile (EI) est la différence entre le troisième quartile $(Q_3)$ et le premier quartile $(Q_1)$.

Formule

$$ \text{EI} = Q_3 - Q_1 $$

Propriété

• Plus l'écart interquartile est petit, plus les données sont concentrées autour de la médiane.

• L'écart interquartile est grand lorsque les données sont dispersées parmi les 50$\%$ centraux.

Remarque

L'écart interquartile n'est pas sensible aux valeurs extrêmes.

Covariance

Définition

La covariance $ \operatorname{Cov}(X, Y) $ entre deux variables aléatoires $X$ et $Y$ est une mesure de la manière dont les deux variables varient ensemble. Elle indique si les deux variables ont tendance à augmenter ou diminuer simultanément.

Formule

$$ \operatorname{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y _i - \bar{Y}) $$

Propriétés

• $\operatorname{Cov}(X, Y) < 0$

  Si la covariance est négative, cela indique que lorsque l'une des variables augmente, l'autre a tendance à diminuer.

• $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$

  Si la covariance est proche de zéro, cela indique qu'il n'y a pas de relation linéaire forte entre les deux variables.

• $\operatorname{Cov}(X, Y) > 0$

  Si la covariance est positive, cela indique que les deux variables ont tendance à augmenter ensemble.

Corrélation

Définition

La corrélation $ \operatorname{Corr}(X, Y) $ entre deux variables aléatoires $X$ et $Y$ est une mesure de la force et de la direction de la relation linéaire entre les deux variables. Elle est calculée en normalisant la covariance par les écarts-types des deux variables.

Formule

$$ \operatorname{Corr}(X, Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} $$

Propriétés

• $\operatorname{Corr}(X, Y) < 0$

  Si la corrélation est négative, cela indique que lorsque l'une des variables augmente, l'autre a tendance à diminuer. -1 indique une corrélation négative parfaite.

• $\operatorname{Corr}(X, Y) = 0$

  Si la corrélation est proche de zéro, cela indique qu'il n'y a pas de relation linéaire forte entre les deux variables.

• $\operatorname{Corr}(X, Y) > 0$

  Si la corrélation est positive, cela indique que les deux variables ont tendance à augmenter ensemble. 1 indique une corrélation positive parfaite.